Los Fundamentos de los Límites en el Cálculo: Explicados con Ejemplos

Los límites son básicos en Cálculo porque nos permiten estudiar el comportamiento de la función, determinar la continuidad, analizar las tasas de cambio, calcular derivadas, integrar funciones y resolver una amplia gama de problemas matemáticos.

Proporcionan todo el marco para comprender y describir el comportamiento de la función cerca de puntos específicos o los valores ciertos del enfoque de variables independientes.

Al estudiar los límites, podemos obtener información sobre el comportamiento de las funciones en puntos particulares, determinar la continuidad y analizar las tasas de cambio. Los límites se emplean para determinar la derivada, la integral y la continuidad en matemáticas y análisis matemático, donde juegan un papel dinámico.

En este artículo, discutiremos en detalle el concepto de límites en cálculo. Además, exploraremos la definición de un límite y los pasos utilizados para encontrar el límite de la función. Para una mejor comprensión del lector, explicaremos el concepto de límite con diferentes propiedades de límite. Además, discutiremos en detalle con la ayuda de ejemplos matemáticos y su solución.

Definición

Cuando una función se aproxima al valor de entrada, en este caso se utiliza el concepto de límites en matemáticas para describir el comportamiento de la función. Nos permite determinar qué sucede con el comportamiento de la función cuando la variable independiente se acerca a los puntos específicos.

Vamos a conocer la definición precisa de lo que se entiende por el enunciado

lim_{(x → a)} f(x) = L

Debemos precisar nuestra notación intuitiva de que f(x) se acerca arbitrariamente a L cuando X se acerca a a.

El valor al que se "aproxima" una función a medida que los valores de entrada se aproximan arbitrariamente a un punto especificado se puede considerar como la definición de un límite. Representa el comportamiento de la función cerca de ese punto, incluso si la función no está definida o toma un valor diferente en ese punto.

Métodos para encontrar el límite

Para resolver limites sde la función, utilizamos diferentes técnicas y reglas, todo dependiendo de la naturaleza de la función. Aquí, discutiremos los métodos importantes que se pueden usar para calcular los límites de las funciones.

Sustitución directa

Puede evaluar la función simplemente sustituyendo el valor de la variable en ella si se define en el punto donde se toma el límite. Si el resultado es un número finito, ese es el límite.

Supongamos,

Si a una función f(x) se le da 2x + 1, y el valor de x tiende a 3 usando el método de sustitución directa, obtenemos el valor de la función si el límite es 7.

Racionalizar

Si se trata de radicales de pregunta dados, esta racionalización implica la expresión multiplicando el denominador y el nominador por el conjugado del radical.

Supongamos,

lim_x→0 √1+x -1/x

Para resolver este tipo de función multiplicamos el conjugado tanto en nominador como en denominador.

Así que

Multiplicación conjugada = √1+x -1/x × √1+x +1 /√1+x +1

Después de la simplificación, obtenemos

lim_x→0 √1+x -1/x =1/2

Reglas de límites comunes

Algunas funciones tienen valores límite comunes,

Como

lim x _x→0 sin x/x = 1 and,

lim x_x→∞ 1/x = 0.

Estos son los valores entendidos del límite de este tipo de preguntas que directamente ponemos su valor de solución no resolver por ningún paso a paso.

La regla de L'Hopital

Esta regla se utiliza cuando se tiene una forma indeterminada, como ∞/∞ o 0/0. Al usar este método, tomamos un nominador derivado y una derivada del denominador por separado y luego encontramos el límite de la función requerida.

Supongamos que si tienes el límite de seno (x) / x cuando x tiende a 0, puedes aplicar la regla de L'Hopital tomando las derivadas tanto del numerador como del denominador, lo que da cos(x) / 1. Evaluando el límite de nuevo cuando x tiende a 0, se obtiene el límite 1.

Propiedades de límites

Los límites son un concepto importante de las matemáticas. Aquí, discutimos algunas propiedades importantes de los límites en matemáticas

• Si el límite del lado derecho es igual al límite del lado izquierdo, en ese caso existe el límite de la función.
• Si encontramos el límite de la función constante, la regla es que el límite de la función constante es igual al valor constante.

lim(c) = c

En este caso, c es la función constante, por lo que el valor de respuesta es la función en sí.

• La regla de la suma y la diferencia de la función es igual a la suma y la diferencia individuales

lim(f(x) ± g(x)) = lim f(c) ± lim g(x)

En este caso, x se aproxima a los puntos específicos.

• La misma regla para el límite del producto de dos funciones del producto de dos funciones es igual al límite individual de los dos productos.

lim(f(x) × g(x)) = lim f(c) × lim g(x)

• El límite del cociente de dos funciones es igual al cociente de sus límites, en este caso, su valor obligatorio de denominador no es igual a cero.

lim(f(x)/g(x)) = lim(f(x)/ lim(g(x)

lim(g(x) ≠ 0

• En el caso de la regla de la potencia, el límite de la función donde x se eleva a la potencia constante es igual al resultado elevado a la potencia del límite x a la potencia. Escribimos matemáticamente de esta forma.

Lim xⁿ= limxⁿ, en este caso, x se aproxima al punto específico.

Ejemplos de límite en Cálculo

A continuación se muestran algunos ejemplos de cálculo de límites.

Ejemplo 1:

lim_x→-1​ (2/5x3 - 9x2 +7x - 11)

Encuentra el límite:

Solución:

Datos dados

lim_x→-1​ (2/5x3 - 9x2 +7x - 11)

Podemos encontrar el límite paso a paso de la función dada en un método simple

Paso 1: Aplicar el límite

lim_x→-1​ (2/5x³ - 9x² +7x - 11) = lim_x→-1​(2/5x³) - lim_x→-1​(9x²) + lim_x→-1​(7x) - lim_x→-1(11)

Paso 2: Sacar el coeficiente del límite

= 2/5 lim_x→-1​(x³) – 9 lim_x→-1​(x²) + 7 lim_x→-1​(x) - lim_x→-1(11)

Paso 3: Aplique el valor del valor límite de x=-1 a la función dada

• 2/5 lim_x→-1​(x³) – 9 lim_x→-1​(x²) + 7 lim_x→-1​(x) - lim_x→-1(11)
• 2/5(-1)³-9(-1)²+7(-1)-11
• -2/5-9-7-11

lim_x→-1​ (2/5x³ - 9x² +7x - 11) = -27.4

También puede utilizar una calculadora de límites para encontrar rápidamente el límite de las funciones dadas con pasos para evitar tomar tiempo en los cálculos.

Ejemplo 2:

lim_{(x → -3)} [ (x2 -3x +1)/ x 2-3x-7]

Encuentra el límite=?

Solución

Datos dados

lim_{(x → -3)} [ (x2 -3x +1)/ x 2-3x-7]

Podemos resolver preguntas paso a paso.

lim_{(x → -3)} [(x 2 - 3x + 1) / (x2 - 3x - 7)]

Paso 1: Aplique el límite a todos los nominadores y denominadores dados de la función dada.

lim_{(x → -3)} [(x² - 3x + 1) / (x² - 3x - 7)]= lim_{(x → -3)} (x²)- 3 lim_{(x → -3)}(x) + lim_{(x → -3)}(1) / lim_{(x → -3)} (x²)- 3 lim_{(x → -3)} (x) – lim_{(x → -3)} (7)]

Paso 2: poner el valor de x=-3 valor límite

lim_{(x → -3)} [(x² - 3x + 1) / (x² - 3x - 7)]= [(-3)² - 3(-3) + 1] / [(-3)² - 3(-3) - 7]

Paso 3:

[(-3)2 - 3(-3) + 1] / [(-3)2 - 3(-3) - 7] = [(9 + 9 + 1) / (9 + 9 - 7)]

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Conclusión

En este artículo detallado sobre el límite, hemos discutido la definición y los pasos utilizados para encontrar el límite. Para una mejor comprensión del lector, explicamos el concepto de límite con diferentes propiedades del límite. 

Además, discutimos en detalle con la ayuda de ejemplos matemáticos y su solución. Esperamos que pueda defender este tema en cualquier lugar después de comprender completamente este artículo.

Preguntas frecuentes

Pregunta # 1:

¿Qué significa que exista un límite?

Respuesta

Existe un límite si los valores de la función se acercan a un número específico a medida que los valores de entrada se acercan arbitrariamente a un punto determinado. Tanto el límite de la izquierda como el de la derecha deben ser iguales para que exista el límite general.

Pregunta # 2:

¿Siempre se puede encontrar el límite de una función?

Respuesta

No siempre. Es posible que algunas funciones no tengan un límite en ciertos puntos, especialmente si la función se aproxima a valores diferentes de la izquierda y la derecha. Además, hay casos en los que el límite puede ser infinito o indefinido.

Pregunta # 3:

¿Cómo se encuentra el límite de una función a trozos?

Respuesta

Primero, encontramos el límite de los lados derecho e izquierdo por separado, si ambos límites son iguales, entonces encontramos el límite de la función a trozos en el punto dado.